Capitolo 7, "Teoria dei teoremi"

Paragrafo 2.

LA DIMOSTRAZIONE

Trattiamo ora la principale caratteristica dei teoremi, quella che li distingue definitivamente dai proverbi e dalle raccomandazioni della mamma: la dimostrazione.

Definizione 7.1.
Si definisce dimostrazione una catena di deduzioni attraverso le quali la verità della proposizione che deve essere dimostrata viene derivata dagli assiomi e da proposizioni precedentemente dimostrate ⁽³⁴⁾.

Definizione 7.1 bis.
Una dimostrazione nella teoria T della tesi dalle ipotesi 1..._n è una sequenza finita di espressioni che termina con e tale che ogni espressione soddisfa una delle seguenti condizioni:

è un assioma di T o una ipotesi _k
è un teorema di T già dimostrato
deriva da espressioni precedenti mediante una regola logica.

Diamo qui di seguito i metodi più usati per dimostrare quasi tutto il dimostrabile.

1. Metodi diretti.

Procedimento per assurdo.
È contrapposto, in taluni campi, alla dimostrazione "diretta".
Supponiamo di voler dimostrare che dalle ipotesi ₁, ₂, ..., _n discende la tesi . Sia cioè "(₁ & ₂ & ... & _n)" l'enunciato del teorema e si ponga, per comodità, ₁ & ₂ & ... & _n = , cosicchè il teorema è .
Allora per eseguire la dimostrazione per assurdo si opera nel seguente modo:
- aggiungo ad l'ulteriore ipotesi (non , negazione di , dunque nego la tesi) e da questo punto di partenza ampliato & ricavo una contraddizione (un assurdo) cioè la presenza contemporanea di una qualunque affermazione e della sua negazione, ;
- ritengo che la dimostrazione di ( & ) ( & ) equivale alla dimostrazione di .
può essere di tipo diverso a seconda dei casi; la sua natura distingue varie forme del procedimento per assurdo:
- è un assioma o un teorema;
- non è un teorema e e sono diverse da e ;
- (o ) è uguale a ;
- (o ) è uguale ad .
Forma contronominale.
Detta anche forma contrapposta o prima legge delle inverse: in luogo di si dimostra .
Procedimento per distinzione di casi.
Se (₁ o ₂ o ... o _n), cioè se implica almeno uno dei sottocasi ₁, ₂, .. , _n e ciascun _i implica , ovvero (₁) & ... & (_n ) allora .
Seconda legge delle inverse.
Se tutte le ipotesi che si possono fare su un dato soggetto, considerate ad una ad una, conducono ad altrettante tesi che si escludono a vicenda, allora ciascuna di queste tesi porta, come sua conseguenza necessaria, la corrispondente ipotesi.
Principio di induzione matematica.
Ne esistono due forme assolutamente equivalenti.
- Prima forma.
  Sia n₀ appartenente a Z e sia P = P(n) un enunciato che ha senso per ogni intero n n₀. Se:
  1. P(n₀) è vero,
  2. per ogni n > n₀, P(n-1) vero implica P(n) vero, allora P(n) è vero per tutti gli n n₀.
- Seconda forma.
  Sia n₀ appartenente a Z e sia P = P(n) un enunciato che ha senso per ogni intero n n₀. Se:
  1. P(n₀) è vero,
  2. per ogni n > n₀, P(m) vero per ogni m, con n₀ m < n implica P(n) vero, allora P(n) è vero per tutti gli n n₀.

2. Metodi derivati.

Procedimento per induzione logica (o cartacea).
Sia dato l'enunciato del teorema: "(₁ & ₂ & ... & _n)" . Si ponga, per comodità, ₁ & ₂ & ... & _n = , cosicché il teorema è .
Siano dati anche una dimostrazione matematicamente corretta Z ottenuta mediante uno qualsiasi dei metodi diretti suesposti, e un algoritmo A che mediante un numero finito di passi permetta di recuperare Z (ad esempio indicando su che libro e a che pagina essa si trova).
È allora vero che : infatti la dimostrazione Z rispetta le ipotesi delle definizioni 7.1 e 7.1bis, le quali ipotesi rimangono verificate anche se si aggiunge in testa a Z l'algoritmo A, cioè proprio quello atto a trovare Z, in quanto A, essendo un algoritmo che termina positivamente e in un numero finito di passi, può essere maggiorato da una costante, e quindi eliminato.
Purtroppo questo metodo, pur essendo assolutamente corretto, non è accettato dalla Matematica tradizionale, per cui non provate ad usarlo agli esami (sigh!).
Forma maggiorale o del "fumo negli occhi".
Siano dati, come sopra, un enunciato E di un teorema T e una dimostrazione corretta Z, e sia dato anche un professore che conosca sia E che Z. Sia dato infine uno studente posto frontalmente al professore suddetto e reggente nella mano destra (o sinistra se mancino) una penna.
Si definisce forma maggiorale una sequenza finita (eventualmente vuota in caso il professore stia dormendo) di righe scritte dalla penna sopra menzionata ed aventi la caratteristica di assomigliare esteticamente alla dimostrazione Z, pur inserendo, rispetto alla stessa, un insieme U non vuoto, eventualmente infinito, di errori, imprecisioni e indecisioni che hanno la caratteristica di non essere rilevati, per varie ragioni, dal professore.

(34) A.I.Fetisov, La dimostrazione in geometria, Progresso Tecnico Editoriale, Milano, 1965.

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