Capitolo 5, "I passaggi analgebrici"

Paragrafo 3.

ORDINI DI PASSAGGI ANALGEBRICI

Semanticamente esistono diverse categorie di passaggi analgebrici, che stabiliscono in un certo senso una gerarchia. Tali categorie prendono il nome di ordini.
Vi sono cinque ordini di passaggi analgebrici: in ognuno di essi, essendo un ordine coincidente con un insieme, gli elementi (ovvero i passaggi analgebrici contenuti) hanno una radice comune, nel senso che rispondono ad un determinato requisito che li contraddistingue dagli altri elementi inseriti negli altri ordini. E su questo non ci piove, anche perché se così non fosse non si capirebbe la necessità di una suddivisione del campo ⁽²⁷⁾ dei passaggi analgebrici in ordini; però non si può mai sapere: poteva benissimo trattarsi di uno sfizio. In realtà c'è dell'altro: ogni ordine superiore contiene quelli inferiori, ma la dimostrazione di questo fatto verrà discussa più avanti (teorema di inclusione, Paragrafo 4).

1° ordine: passaggi algebrici esatti
Di natura abbastanza complessa, sono i più utilizzati, nonostante siano anche i più difficili da trattare. Di grande utilità pratica, sono piuttosto diffusi nell'ambiente scientifico (la grande novità dell'Analisi N sta proprio nella possibilità di trattare materie scientifiche utilizzando anche passaggi analgebrici di ordine superiore al primo, quindi l'Analisi N è esclusa dall'ambiente scientifico); la ricerca, soprattutto a livello universitario, ha già dato buoni frutti, tuttavia restano abbastanza malvisti dalla maggior parte della popolazione a causa della scarsa arbitrarietà con cui vengono ricavati.
Gli appartenenti a questo ordine sono piuttosto disprezzati anche dai colleghi degli ordini superiori. Non sono rari gli episodi di intolleranza, in cui un passaggio algebrico esatto tenta di passare al secondo ordine, ma viene bruscamente respinto o addirittura eliminato non appena viene individuato. In quest'ultimo caso si parla di collassamento algebrico o, più semplicemente, di rimandato a Settembre.

2° ordine: passaggi algebrici qualsiasi
Quindi anche errati. O, meglio, soprattutto errati, infatti, nell'insieme universo dei passaggi algebrici (incluso in quello dei passaggi analgebrici) la probabilità di pescare un passaggio algebrico esatto è semplicemente pari a zero (però non l'avremmo mai detto; c'è sempre da imparare).
Parliamo dei passaggi algebrici errati, che non crediamo comunque abbiano bisogno di grosse presentazioni. Sono senza dubbio i più comuni e vanno molto di moda anche all'estero. Risultano particolarmente utili ai docenti per sfoltire le file degli iscritti agli esami e per questi ultimi sono molto maneggevoli, infatti non hanno nemmeno bisogno di essere spiegati per essere messi all'opera. Si dimostra che:

Teorema 5.1.
Condizione accessoria e assolutamente non indispensabile per costruire un passaggio analgebrico del secondo rdine è non studiare.

Dimostrazione.
Infatti, pur avendo studiato, spesso non si passano gli esami per causa di passaggi algebrici errati.

Del resto è pure vero il

Teorema 5.2.
Condizione necessaria, ma non sufficiente, al fine di superare un esame è non costruire passaggi analgebrici dal secondo ordine in poi.

Dimostrazione.
Che sia necessaria è ovvio. La non sufficienza, invece, pure: infatti i passaggi analgebrici del primo ordine usati (perché per esclusione sono rimasti solo quelli) possono non essere quelli appropriati. Anzi, per via del Teorema, tenderanno ad essere proprio i meno adatti.

I passaggi analgebrici del secondo ordine, quando raggruppati in gran numero, applicati in serie o in parallelo, oppure eseguiti con ricorsione, vengono detti schiere di Darth Vader, perché chi tenta di correggerli finisce con il cedere al lato oscuro della Forza.
La loro azione è devastante.

3° ordine: produzioni simboliche
Sono assegnazioni, cambiamenti di simboli, di variabili, di segni, ecc. ecc. del tutto arbitrarie ⁽²⁸⁾. Tanto per intenderci, nel Paragrafo precedente abbiamo già incontrato due produzioni simboliche: il =1 dell'Esempio 5.3 (Assioma di Tutankamen) e il 3=2 dell'Esempio 5.4. Per la cronaca, 3=2 rappresenta il secondo e terzo membro della prima Equazione di Trapattoni, detta "l'Audace", il cui corpo completo è 5=3=2. La seconda Equazione di Trapattoni, detta "l'Ordinaria" è invece 5=4=1, la terza 9=1=0, più comunemente nota come "Catenaccio". Per la precisione.

4° ordine: terzo membro con memoria finita
Qui cominciano i guai. La tematica del "terzo membro" è di per sé molto complessa e a volte ambigua, per cui ne esponiamo le caratteristiche generali facendo un esempio applicativo e rimandiamo le discussioni specifiche alla letteratura specializzata.
Prendiamo l'equazione:

e^x = 1 - x

che si presume un qualunque homo-sapiens-sapiens medio debba saper risolvere con, diciamo, una sequenza finita di passaggi analgebrici del 1° ordine. Per il teorema di inclusione però, il 4° ordine include gli ordini precedenti e quindi anche il primo: allora l'equazione è risolubile in un numero finito di passaggi analgebrici del 4° ordine, eventualmente utilizzandone anche alcuni degli ordini inferiori. Vediamo:

prendo e^x e lo pongo nel terzo membro; l'equazione diventa:

= 1 - x [e^x].
Si osservi la mancanza di e^x dal primo membro: e^x non è stato rimpiazzato con nulla, esso è stato preso e posto nel terzo membro, il cui contenuto viene indicato per convenzione racchiuso tra parentesi quadre a fianco dell'equazione modificata.
È possibile eseguire operazioni di scomposizione all'interno del terzo membro, cosicché e^x può diventare e seguito da x (gli argomenti si separano con una virgola mobile, così detta perché a volte può diventare anche argomento):

= 1 - x [e, x].
Porto x al primo membro e ottengo

x = 1 [e, x].
Dopodiché, con un passaggio del 3° ordine, impongo 1 = 0 e ottengo così

x = 0 [e, x].

che è la soluzione corretta.

Si noti che il terzo membro contiene ancora degli argomenti. Essi potranno essere riutilizzati per altre operazioni sulla stessa equazione o altre differenti; si ha infatti il

Teorema 5.3.
Finché ci sono argomenti nel terzo membro, c'è speranza.

La dimostrazione è più che ovvia.

Il terzo membro è qui dotato di memoria finita: ciò significa che solo un numero finito N di elementi può essere immagazzinato in esso. Tale numero dovrebbe essere stabilito prima di cominciare con i passaggi e non dopo, quando si è finito, ma molti ignorano questo fatto.

5° ordine: terzo membro con memoria illimitata
Come il 4° ordine solo con memoria illimitata (e chi l'avrebbe mai detto? A giudicare dal titolo sembrava tutt'altra cosa...).

ESERCIZI.

5.3. Risolvere mediante passaggi analgebrici di ordine qualsiasi l'equazione:

5.4. Risolvere la stessa equazione usando solo passaggi analgebrici di ordine minore o uguale al secondo.

5.5. Non abbiamo il coraggio di chiedervi di risolverla con passaggi analgebrici del primo ordine (passaggi algebrici), ma dato che ormai qualche esercizio lo dobbiamo proporre, provate a toccarvi il naso con le punte degli indici, tenendo gli occhi chiusi e stando sulla punta del piede sinistro.

(27) la dimostrazione del fatto che l'insieme dei passaggi analgebrici è un campo si trova nel Paragrafo 4.

(28) i passaggi analgebrici del 3° ordine vengono anche detti componente epsilon-sigma dell'Arbitrarietà della Simbologia, argomento del prossimo Capitolo.

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