Capitolo 3, "Metodi di risoluzione"

Paragrafo 2.

LA FUNZIONE N-ORIALE

Definizione 3.1.
Sia F una funzione F: NR tale che per ogni n N si abbia F(n)= con esattamente n esponenti uguali a n. Allora tale funzione viene detta n-oriale di n o n n-oriale (leggi: enne ennoriale) e si indica con il simbolo n?.

Si noti la definizione: non è n elevato n, elevato ancora n e via di seguito n volte, cioè (..((nⁿ)ⁿ)ⁿ..)ⁿ, bensì n che eleva n, che eleva ancora n... n volte, cioè:

Esempio 3.1.
0? = 0.
1? = 1¹ = 1.
2? = = 2⁴ = 16.
3? = = ??? (non ci sta sulla calcolatrice!)
Vediamo di renderci conto di che tipo di cifra possa essere: 3³ fa 27; 3²⁷ fa circa 763 10¹², ma quanto fa ?
Cerchiamo di renderci conto almeno di quante cifre è composto il numero facendo questa considerazione: prendiamo ad esempio 3⁶: vuol dire 33333 3; possiamo raggruppare i numeri a coppie (33), ognuna delle quali fa 9, e cioè è vicina alla decina, per cui se abbiamo (33) (33) (33) 101010 = 1000 quattro cifre; generalizzando, il numero di cifre di cui è composto il numero è minore o uguale a (ValoreEsponente)/2 + 1; cioè ha circa 3,8110¹² cifre, cioè 3810 miliardi di cifre. Più o meno.

Grafico 1.
Ennoriale di n.

che non significa "è infinito oppure no?", ma "è infinito ennoriale" cioè infinito che eleva infinito che eleva ancora infinito... infinite volte, cioè un bell'infinito grosso così.
L'utilità dell'n-oriale è apparsa subito chiara agli occhi degli autori per la prima volta durante l'approccio con le serie numeriche. Data una serie A_n di cui occorra determinare la convergenza o divergenza e tale che una simile operazione risulti se non ostica, quantomeno, proprio, impossibile, allora si ha: [A_n/(n?)]0 per n oppure
[A_n (n?)] per n.

A qualcuno potrebbe venire in mente che nella stessa A_n, A_n sia in qualche modo dipendente da (n?) cosicché l'aggiunta di un (n?) al di là della sommatoria possa rivelarsi ininfluente a causa di semplificazioni algebriche. È vero. Allora poniamo per ipotesi che A_n non dipenda da (n?) e qualcuno potrà obiettare che il procedimento è arbitrario... ma, del resto, qualcuno è mai riuscito a trovare un algoritmo che risolva le serie numeriche (e intendiamo serie numeriche qualunque)?
A qualcun altro invece potrebbe passare per la testa, magari solo lontanamente, che l'introduzione dell'n-oriale non risolva assolutamente nulla per quanto riguarda le serie numeriche e in generale che come metodo di risoluzione dei problemi sia alquanto discutibile. È un'opinione (probabilmente valida) e ne prendiamo atto, ma occorre focalizzare l'attenzione su un altro fatto: l'n-oriale cresce molto più rapidamente di qualunque funzione elementare, cresce, cresce ed è probabile che alla fine cresca talmente in fretta da ribaltarsi. A partire da un certo n₀ in poi sarà interessante notare la curvatura accentuata dell'n? (detta sinapsi) il quale cesserà di essere una funzione per divenire un paradosso, come intuito dal professor Wolfgang Erebus ²¹ durante la famosa lezione sul diretto Torino-Milano delle 5:02 il mattino del 18 Dicembre 1982.

Grafico 2.
Continuizzazione dell'ennoriale: l'x-oriale.

Grafico 3.
La sinapsi (particolare). Galleria degli Uffizi, Firenze.

Si osservino i grafici: il grafico 1 mostra i valori più bassi dell'ennoriale; il valore di 3? ovviamente ha qualche difficoltà a rientrare nella scala, per cui ha pensato bene di starsene fuori, da qualche parte, lassù nell'infinito...
Il grafico 2 mostra la una curva che approssima la continuizzazione dell'ennoriale, una funzione molto difficile da ottenere (Normand Krikè ci ha provato e ha trascorso qualche tempo in manicomio) detta x-oriale ed è l'estensione della funzione ennoriale (che è definita sugli interi ed è a valori interi) al campo reale. Nel grafico 3, invece, è riportato un ingrandimento della già menzionata sinapsi.
Riguardo ancora al grafico 3, che illustra come l'ennoriale divenga un paradosso, occorre dire che i paradossi sono bestie bruttissime che non ci sentiamo né di analizzare né tantomeno di addomesticare; per maggiori informazioni è possibile consultare la bibliografia (oppure la nota spese della Redazione, N.d.A.) (Ma come ti permetti, N.d.R.). Per consolarci, accontentiamoci di comprendere una cosa: l'ennoriale cresce. A cosa poi ciò possa servire, difficile a dirsi; però poteva andare peggio: chessò, poteva schizzare fuori dal foglio e colpirci ad un occhio, per esempio. Ma non l'ha fatto.
Per questo noi lo ringraziamo, commossi.

(21) Detto Girolamo. Insegnava Analisi Matematica I al Politecnico di Milano, ma è scomparso misteriosamente il giorno 19 Dicembre 1982.

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