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Paragrafo 3.
DEFINIZIONI E TEOREMI
Definizione 1.1.
Si definisce stato di indecisione una qualunque situazione, stato o altro
che abbia contenuta in sé una parte (anche minima) di indecisione [Ry, 1979].
Di convenzione il singolo stato di indecisione viene chiamato Ii.
Osservazione
Spesso il simbolismo che si è scelto per gli stati di indecisione crea confusione, perché
si è portati a pensare che la i minuscola di Ii sia un indice, mentre in realtà
fa parte del nome generale degli stati di indecisione: ad esempio se ne abbiamo tre di questi, li chiameremo
Ii1, Ii2,
Ii3,
mentre se dobbiamo usare un indice, lo chiameremo ad esempio j e scriveremo
Iij.
Il motivo per cui è stato scelto questo simbolo è che crea confusione e, in definitiva,
indecisione.
Definizione 1.2.
Si definisce Universo In-Decisionale l'insieme di tutti i possibili stati di
indecisione Ii.
Si indica normalmente con [?...?...?] per cui si ha che
[?...?...?] = 
Ii.
Definizione 1.3.
Si definisce Spazio di Indecisione o più brevemente ?SPAZIO?
l'intervallo (0,1) della retta delle ascisse, dove lo 0 rappresenta il massimo grado di
indecisione (che sarà definito più avanti) e 1 il suo complementare rispetto a
[?...?...?].
Definizione 1.4.
Si definisce funzione isodecisionale o di Murphy, la funzione che ha
come dominio l'Universo In-Decisionale e come codominio lo Spazio di Indecisione e che associa
ad ogni stato di indecisione un punto dello spazio di indecisione.
Si indica con il simbolo 
(Ii)
cioè 
Iii 
[?...?...?]
(Iii) : Iii
?SPAZIO?
Possiamo allora chiederci se attraverso la funzione di Murphy gli stati di indecisione "coprono" tutto lo spazio di indecisione e nel caso di risposta affermativa, in che modo lo fanno. Iniziamo con il seguente teorema.
Teorema 1.1 (teorema di enumerazione).
Gli stati di indecisione sono più di N. N è un numero >> K con
K 
0.
(Forse si farebbe prima a dire che sono infiniti, probabilmente...)
Dimostrazione.
Procediamo per induzione.
Se gli stati di indecisione fossero zero, allora non esisterebbero i dubbi ... e allora perché ci
staremmo chiedendo quanti sono gli stati di indecisione, dovremmo saperlo già con certezza!
Allora c'è almeno uno stato di indecisione per cui possiamo far partire il procedimento induttivo.
Dimostriamo allora che dal fatto che esistano k-1 stati di indecisione, discende il fatto che ce
ne sono almeno k: possiamo ad esempio elencare tutti i k-1 stati di indecisione, ma non
possiamo dire con certezza che non ne esista un altro, e questa indecisione sommandosi alle altre k-1
ci da almeno k indecisioni, per cui il teorema è verificato per induzione.
Coronaria 1.1.
Gli stati di indecisione sono infiniti.
Dimostrazione.
La dimostrazione è immediata conseguenza del teorema precedente tenuto conto del teorema N.1.
Coronaria 1.2.
Gli stati di indecisione sono troppi.
Dimostrazione.
È sostanzialmente dimostrabile per via empirica; possiamo solo dire che se anche ce ne fosse uno
solo, secondo noi sarebbe già troppo.
Teorema 1.2.
La funzione di Murphy è iniettiva e suriettiva; non è però biunivoca.
Dimostrazione.
Iniettiva: siano dati due stati di indecisione Ii1 e
Ii2. Dimostriamo che se sono diversi questo implica che
(Iii) è diverso da
(Ii2).
Per assurdo: se i due stati di indecisione cadessero nello stesso punto dello spazio di indecisione, ci
dite a cosa servirebbe la funzione di Murphy?
Suriettiva: prendiamo un punto qualsiasi x dello spazio di indecisione e dimostriamo che si
può trovare uno stato di indecisione Ii tale che (Ii) è
uguale a x.
Mettetevi a guardare intensamente il punto x e chiedetevi : "Ma da dove verrà questo
x?" ... ecco, avete trovato lo stato di indecisione che cercavate.
Non è biunivoca: Se fosse biunivoca, allora da ogni punto x dello spazio di indecisione, si
potrebbe con certezza trovare uno stato di indecisione legato ad esso dalla funzione di Murphy; ma questo
negherebbe il metodo che abbiamo usato per dimostrare la suriettività, in quanto non ci potrebbe
essere indecisione guardando la x.
Siamo così giunti ad una prima risposta alla domanda che ci eravamo posti in precedenza, infatti abbiamo visto che gli stati di indecisione sono infiniti e che la funzione di Murphy è suriettiva, per cui gli stati di indecisione, attraverso la funzione di Murphy, coprono tutto lo spazio di indecisione; ma si può dire di più:
Teorema 1.4.(2)
I numeri reali dell'intervallo (0,1) sono un sottoinsieme stretto degli stati
di indecisione nello ?SPAZIO?.
Dimostrazione.
Sappiamo dall'assioma di Dedekind che per ogni sezione (A,B) appartenente ai numeri reali,
esiste un unico numero L tale che sia maggiore o uguale ad a e contemporaneamente minore o
uguale a b, per ogni a appartenente ad A e per ogni b appartenente a B.
Supponendo che L faccia parte dell'intorno (0,1), sicuramente, per il teorema precedente (1.2)
avrà un corrispondente negli stati di indecisione (dato che la funzione di Murphy è
suriettiva). Del resto se esistesse un solo stato di indecisione Ii1
associato ad L attraverso la funzione di Murphy, dovrebbe per forza appartenere a uno dei due insiemi
della sezione, per definizione stessa di sezione; mettiamo che appartenga all'insieme A (il
ragionamento sarebbe del tutto analogo se appartenesse all'insieme B), allora potremmo considerare il
nuovo insieme dato da A+Ii1, che in teoria dovrebbe essere
equivalente ad A stesso, e potremmo trovare un nuovo Ii2 tra i
due insiemi, anch'esso appartenente o all'insieme A o all'insieme B, e così via
all'infinito.
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Questo teorema vi è stato offerto dall'impresa edile |
Conseguenza di questo teorema è la seguente
Coronaria 1.3.
Non si possono trovare sezioni nello ?SPAZIO?.
Dimostrazione.
La dimostrazione segue da quella del teorema precedente: abbiamo infatti visto che tra gli insiemi di una
sezione (A, B) possiamo trovare infiniti punti Iij che
appartengono ad A oppure a B; supponiamo di prendere due stati di indecisione tra quelli che
verificano il teorema precedente, Ii1 e
Ii2 e che appartengono all'insieme A.
Dato che gli stati di indecisione hanno una relazione d'ordine (non dimostriamo qui questa affermazione, ma
Sigmud Ry ci assicura che è vera...), supponiamo
Ii1 < Ii2.
Per definizione di sezione abbiamo che
AB = ?SPAZIO? e A
B =
; per cui se pensiamo ad A come contenente anche
Ii1, e dato che l'intersezione con B deve
essere nulla, allora Ii2, che viene dopo
Ii1, non può far parte né di A né di
B 
assurdo!
A questo punto enunciamo senza dimostrare, i seguenti teoremi, che sono lo stato dell'arte attuale dell'ennanalisi per quanto riguarda l'indecisione; le dimostrazioni sono assai complesse e richiedono, oltre al resto, anche la conoscenza della funzione ennoriale (vedi Capitolo Terzo) a più variabili estesa al campo complesso.
Teorema 1.5 (dell'imperscrutabile indecisione).
Non è possibile trovare la rappresentazione analitica della funzione di
Murphy, né approssimarla in alcun modo, mediante qualsiasi sistema formale, statistico o
paranormale.
Teorema 1.6 (dell'infinita infinità).
I numeri reali sono densi negli stati di indecisione.
Nota: è un risultato che ci si poteva aspettare, dato il teorema 1.4.
Osservazioni
Questa ultima affermazione è importantissima perché dimostra un errore di fondo nello
studio classico dell'Analisi, che come sappiamo considera i numeri reali come il massimo grado di
continuità e "fluidità" in un determinato intervallo, mentre abbiamo visto dai teoremi 1.4 e
1.6, che, almeno nell'intervallo (0,1), essi sono un sottoinsieme degli stati di indecisione, e di
più, che tra due numeri reali ci sono infiniti stati di indecisione, cosa che in effetti si
può dire anche dei numeri razionali (dato che sono densi nei numeri reali), ma quello che in
realtà è importante è che gli stati di indecisione sono di un'infinità di ordine
superiore ai numeri reali, e, probabilmente, possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri
complessi, anche se questa affermazione non è assolutamente stata dimostrata né analiticamente
né sperimentalmente, ma è, un'affascinante ipotesi sulla quale dimostrazione, i massimi
esponenti dell'Analisi N stanno lavorando da diversi anni.
Dilemma 1.1 (di Ry).
Gli stati di indecisione sono un insieme non numerabile.
(3)
Dimostrazione.
Deriva facilmente dal fatto che già i numeri reali non sono numerabili, e quindi a maggior ragione
non lo possono essere gli stati di indecisione, che "contengono" al loro interno i numeri reali.
ESERCIZI.
1.3. Dimostrare che la funzione di Murphy è uniformemente continua in un intervallo chiuso dello ?SPAZIO?.
1.4. Cercare di mettere in relazione lo ?SPAZIO? e gli stati di indecisione con lo spazio di probabilità.
1.5. Dimostrare in modo completo, partendo dalla dimostrazione valida sui numeri reali, il dilemma 1.1.
1.6. Discutere la derivabilità e l'integrabilità della funzione di Murphy.
(2) Il teorema 1.3, dopo lunghe e sofferte meditazioni, è stato definitivamente soppresso, ma ci siamo stufati di rinumerare tutti quelli seguenti per la n-esima volta...
(3) Come i dilemmi di Ry... come si evince leggendo la sua biografia in Appendice 3.
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