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Paragrafo 5.
NON CAMBIATE LA PILA
Vogliamo qui presentare un'affascinante osservazione fatta da Normand Krikè quando
studiava Statistica. Un giorno non si accorse che gli si era fermato l'orologio (a carica manuale) e
arrivò in ritardo all'appuntamento con Jessica Levj-Brown, la quale, offesa, lo piantò su due
piedi(50).
Tornato a casa, dopo aver distrutto a calci l'orologio e mentre finiva la quarta bottiglia di birra, si pose
la domanda:
Ma se un orologio rimane fermo su una certa ora, in media di quanto sbaglia?
Qui esponiamo le sue conclusioni.
Per semplicità pensiamo che l'orologio si sia fermato a mezzogiorno esatto e che sia possibile riconoscere le 12 dalle 24; tuttavia un ragionamento del tutto analogo si può fare per una qualunque ora e anche se non è possibile quanto appena detto. Dunque se vi si ferma l'orologio sulle dodici, vediamo di calcolare in media quanto sbaglia; prima di tutto notiamo che ogni istante è equiprobabile: se ci fermiamo ad esempio ai minuti, in un giorno ce ne sono 86400, avvengono sempre tutti una e una sola volta nell'arco del giorno, e hanno la stessa durata (questo linguaggio formale risulta un po' scemo...); quindi essi risultano equiprobabili. Anche restringendo il ragionamento ai centesimi, poi ai millesimi e facendo tendere il tempo a zero, il ragionamento è analogo; ma questo implica che il tempo è distribuito uniformemente (nel continuo) in tutto l'arco della giornata. Prendiamo per comodità le ore come unità di misura; l'errore assoluto commesso quando guardiamo un orologio fermo alle 12, se X è l'ora vera (da 0 a 24), è dato da (X - 12), che è negativo se l'ora vera è antecedente e positivo se in realtà è più tardi. Essendo il tempo, come visto distribuito uniformemente da 0 a 24h, la sua densità è 1/24 in (0, 24) e 0 altrove; quindi il valore atteso (media) dell'errore è:
Osservazione.
Il conto sarebbe stato immediato applicando le proprietà del valore atteso e conoscendo la media
della distribuzione uniforme, ma abbiamo svolto tutti i passaggi per completezza.
Ma allora se un orologio rimane fermo, in media azzecca l'ora giusta! E che bisogno c'è allora di cambiare la pila quando si ferma?(51)
(50) ci sentiamo di osservare che la Levj-Brown era solita arrivare con almeno un'ora di ritardo agli appuntamenti con Normand, mentre per lui era la prima volta. Ma pare che sia una cosa normale...
(51) ai tempi di questo ragionamento, il Krikè non aveva ancora sentito parlare di varianza, ma il fatto che sia stato piantato, fa per lo meno sospettare che nel discorso ci sia qualche cosa che non va.
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