tux Torna alla home page Introduzione all'Analisi N
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Paragrafo 2.

TEOREMI SCARTATI

Assioma N.1 (dell'assiomatica assiomaticità).
Un assioma è assiomatico se e solo se esprime assiomaticità indipendentemente dal fatto che sia o no assiomatizzante.

Dimostrazione.
Assiomatica.(40)

Teorema N.1.
Preso N comunque grande, + è sempre molto pi grande.

Dimostrazione.
Dimostriamo innanzitutto che + è più grande di N, qualunque sia N. Procediamo per assurdo: supponiamo che esista N tale che N > +. Allora, preso k comunque grande è k < N; ma questo è impossibile perché vorrebbe significare che N = +, mentre si è supposto N > +. Quindi è vero che N < +, cioè + è più grande di N (sempre).
Dimostriamo ora il "molto". Per quanto detto nella prima parte del teorema è N < +; allora posso dire che esiste S tale che N + S = +, ma, per quanto visto nel Capitolo Secondo e Mezzo, sarà obbligatoriamente S = +. Quindi N è senz'altro molto più piccolo di + e dunque + è molto più grande, in particolare anche per N enorme.

Definizione N.2.
Si definisce scaritolatico un numero sufficientemente diverso da 6.

Dimostrazione.
(Ebbene s´┐Ż ci siamo voluti togliere lo sfizio di dimostrare una definizione)
Nessuno ha mai definito scaritolatico un numero sufficientemente diverso da 6, quindi la definizione è valida (al massimo, rivolgersi alla SIAE per i diritti d'autore).

Osservazione.
Dire "sufficientemente diverso" in pratica non vuol dire niente(41): si deve vedere caso per caso quanto deve essere quel "sufficientemente", cioè si deve trovare il raggio dell'intorno dei numeri non scaritolatici (raggio di non-scaritolaticità), che come ovvio ha centro in 6; chiamato R il raggio di non scaritolaticità, abbiamo che tutti i numeri maggiori di 6+R sono scaritolatici, cos´┐Żcome tutti i numeri minori di 6-R. Se consideriamo solo i numeri interi, quelli presenti nell'intorno sono in numero finito, mentre quelli esterni sono ovviamente infiniti, per cui, dato un qualunque raggio di non scaritolaticità R minore di infinito (cosa ovvia come visto nel Capitolo sull'infinito), e scegliendo un numero a caso, la probabilità che questo sia non scaritolatico è (casi favorevoli su casi possibili) uguale a 2R/ e cioè è uguale a zero. Lo stesso ragionamento si pu´┐Żin realtà fare anche per i numeri razionali e reali (mentre è impossibile con gli stati di indecisione, dato che 6 non appartiene ad essi) per cui è dimostrato il seguente

Teorema N.2.
Tutti i numeri sono scaritolatici, anche il 6.

Teorema N.3.
2+3 fa 6 per 2 abbastanza grande.

Dimostrazione.
Come è noto (!) 6 = 3 + 3 (passaggio analgebrico del 1 ordine) e utilizzando i risultati del Capitolo Quarto si ha che 6 = 3 + 3 = 3 + 2 + 0(1). Sappiamo che 0(k) = o(k) per k costante. Allora 0(1) = o(1) che tende a zero più velocemente di 1 (ovviamente) e quindi 6 = 3 + 2 + o(1) = 3 + 2, essendo 2 = 2 + o(1) se 1 è abbastanza vicino a zero oppure con un passaggio analgebrico di ordine superiore al primo e il teorema è dimostrato.

Definizione N.3.
Si definisce campo di inesistenza di f(x) l'insieme di tutti i punti in cui la funzione non è definita, nè definibile, nè tantomeno derivabile, integrabile, invertibile, isomorfabile, iniettabile, suriettabile ecc. ecc.

Definizione N.4.
Si definiscono porcherie tutte le definizioni del tipo della precedente.

Si osservi che non era necessario che la N.3 venisse prima della N.4; in luogo della N.3 andavano bene anche altre definizioni. Abbiamo infatti il

Dilemma N.1.
Date le definizioni N.3 e N.4 come sopra, la N.3 pu´┐Żessere sostituita da una qualunque definizione di questo libro (e magari anche di qualcun altro).

Coronaria N.1 (non si sa bene coronaria a cosa).
La quantità al primo membro dell'equazione precedente è uguale a sin(x)/x3 a meno di una costante.

Dimostrazione.
Non siamo riusciti a trovare l'equazione precedente, probabilmente di qualche teorema di cui la presente è coronaria. Se ci saranno ulteriori sviluppi vi terremo informati.

 

Diamo adesso tre formulazioni differenti dello stesso teorema che di volta in volta risulteranno utili nello studio di funzioni.

Teorema N.4.
Una funzione f(x) è convessa in un intervallo (a, b) in cui è continua e derivabile almeno due volte e in cui la derivata seconda non cambia segno, se nello stesso intervallo non è nè costante, nè concava.

Dimostrazione.
E senn´┐Żche cavolo è?!

Teorema N.5.
Una funzione f(x) è convessa in un intervallo (a, b) in cui è continua e derivabile almeno due volte e in cui la derivata seconda non cambia segno, se nello stesso intervallo non è nè costante, nè concava, nè discontinua, nè disintegrabile, nè ricopribile, nè questa, nè quell'altra cosa, ma è convessa.

Teorema N.6.
Una funzione f(x) è convessa se e solo se è convessa.

 

Definizione N.5.
Una discontinuità è detta di terzo tipo se non è nè di primo nè di secondo, per´┐Żsi ostina ugualmente ad essere discontinua (cioè è continuamente discontinua nel tempo).

Teorema N.7 (dei tre carabinieri).
Se ho tre funzioni f(x), g(x), h(x) tali che f(x) > g(x) > h(x) per ogni x R e so che per x che tende a infinito f(x) e g(x) tendono allo stesso limite N, non posso dire con precisione a cosa tende h(x) (per´┐Żso che non è meno di N).

Dimostrazione.
Non ci sentiamo proprio in dovere di dimostrare questa robaccia, al massimo se qualcuno è convinto del contrario ci dica, dando una dimostrazione plausibile, come farebbe a trovare il limite di h(x).
c.n.v.d.(42)


Figura N.1 - Il teorema dei tre carabinieri.

 

Definizione N.6.
Una funzione f: A R si dice lipschitziana se esiste una costante M > 0 tale che f(x) - f(y) M x - y per ogni x,y A.
Solo un'osservazione: questa definizione è serissima ed è stata presa da un libro di Analisi I, ma dato che il termine lipschitziana sa tanto di Analisi N, non abbiamo resistito alla tentazione di includerla.

Teorema N.8.
Una funzione lipschitziana è uniformemente continua.

Dimostrazione.
È troppo seria per gli scopi di questo Paragrafo (e di questo testo in generale); si rimanda la dimostrazione ai tomi di Analisi I e II.

Definizione N.7.
Si definisce fattore di potenza un qualunque contadino della Basilicata(43) (basta che abbia visto almeno una volta Potenza nella sua vita).

Assioma N.2.
L'Errore Globale è SEMPRE enorme (anche se è zero).


(40) Notare il tentativo di dimostrare un assioma...

(41) è una soggettività (vedi Capitolo Secondo).

(42) Come Non Volevasi Dimostrare.

(43) Per gentile concessione di Gino Bramieri.

 


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