Capitolo 7, "Teoria dei teoremi"

Paragrafo 4.

L'INSIEME DEI TEOREMI

L'ennanalisi ha sistemato i teoremi in un insieme, che per la verità non contiene solo teoremi, e che si chiama Universo Teorematico o, più brevemente, Teo. Questo universo è composto da una serie di sottoinsiemi, sempre più grandi e che man mano contengono quelli precedenti (più piccoli). Prima di vedere quali sono, cominciamo con le definizioni del caso.

Definizione 7.3.
Si definisce insieme dei teoremi o, più brevemente, IT ⁽³⁵⁾ l'insieme di tutti i teoremi, lemmi, dilemmi, corollari e coronarie sia che rispettino la Definizione 7.2, sia che non la rispettino.

Definizione 7.4.
Si definisce Universo Teorematico o Teo, lo spazio che contiene tutto l'insieme dei teoremi e anche qualcosa di più.

È da notare che due teoremi apparentemente molto diversi possono in realtà essere assolutamente equivalenti, se differiscono solo per il simbolismo e il testo con cui sono presentati. Diamo qui la definizione rigorosa di teorema equivalente, tenendo conto delle cose viste nel Capitolo precedente a proposito dell'arbitrarietà della simbologia.

Definizione 7.5.
Due teoremi T₁ e T₂ si definiscono equivalenti se esiste una funzione (x) (dove x appartiene all'insieme X , base dei simboli) tale che si possa passare, applicando (x), dall'enunciato di T₁ a quello di T₂.

Diamo ora la descrizione di tutti i sottoinsiemi, partendo dai più piccoli fino ad arrivare al più grande (il Teorema). Naturalmente, ogni sottoinsieme è costituito da tutti i teoremi che rispettano le sue proprietà, più tutti quelli a loro equivalenti mediante la Definizione 7.5.

Figura 7.1. - L'insieme dei teoremi.

Teoremi con doppia implicazione.
Sono tra i più comuni e subdoli; sapete sicuramente tutti come sono fatti e come funzionano e per questo probabilmente li detestate; sono anche conosciuti come teoremi "se e solo se".
Nelle dimostrazioni vengono usati passaggi analgebrici del primo ordine (passaggi algebrici).
Teoremi con singola implicazione.
Un po' meno odiosi dei precedenti, non fosse altro che per il fatto che implicano di studiarsi solo una dimostrazione anziché due. Naturalmente niente vieta che questa unica dimostrazione sia più difficile che due messe insieme.
Anche in questo caso nelle dimostrazioni vengono usati passaggi analgebrici del primo ordine.
Teoremi assiomatici.
Sono teoremi il quale enunciato funziona sempre, ma di cui non è disponibile, almeno attualmente una dimostrazione; a volte è solo questione di tempo e il Cauchy di turno la troverà (ma Gauss l'avrà già trovata da tempo), senza che questo provochi in vero grande entusiasmo in chi la stessa dovrà studiarla. I teoremi dei due insiemi precedenti sono stati, in passato, assiomatici e capita ancora che qualche professore scriva nel programma del corso "... escluse dimostrazioni", facendoli tornare tali. Ma è molto raro.
Teoremi empirici.
Soltanto l'ennanalisi li ha elevati al rango di teoremi; sono composti da enunciati indimostrabili, ma che, empiricamente, si ritengono veri, in quanto se si verificano le ipotesi, nella stragrandissima maggioranza dei casi, ne segue la tesi. Sono invero dei teoremi soggettivi, in quanto variano da persona a persona e ognuno se ne porta dietro di personali. A puro titolo di esempio riportiamo l'esempio più noto di teorema empirico, che perseguita gli autori dell'opera sin da prima della loro nascita, cioè il

Teorema 7.3 (della Pessima Possibilità).
Sia data una situazione in cui una qualunque cosa possa andare storta con probabilità 50%. Allora quella cosa andrà storta al 99,999%.

È importante notare come in casi teoricamente peggiori, come avendo una percentuale di andare storto del 0,9 ⁽³⁶⁾, le cose vadano statisticamente meglio che sotto le ipotesi del teorema.
Teoremi quasi veri.
Sono teoremi che sono veri solo per qualche istanza (e magari anche per qualcun'altra). Quello che li differenzia da quelli dei due insiemi procedenti è che sono dimostrati. Il problema è che sono dimostrati con passaggi analgebrici di ordine superiore al primo. Vengono chiamati teoremi quasi veri dell'ennesimo ordine, dove al posto di n si mette l'ordine più grande tra i vari passaggi analgebrici che sono stati usati per dimostrare il teorema. Se n è pari a uno, allora il teorema fa parte di uno dei primi due sottoinsiemi (che, ricordiamo, sono contenuti in questo), in quanto la dimostrazione è frutto di passaggi algebrici, e quindi si suppone esatta.
Quasi teoremi.
Sono analoghi ai precedenti, nel senso che sono proprio i precedenti: purtroppo una parte esigua degli ennanalisti (nella fattispecie il solito Sigmud Ry), a causa di frequenti vuoti di memoria, continua a chiamarli in questo modo.
Proposizioni semialeatorie.
Fanno parte di questo insieme le proposizioni che sono sia vere che false, con probabilità di essere vere che va da 1 (in questo caso sono di uno dei primi tre sottoinsiemi) a 1/2 (non compreso). Tra le proposizioni semialeatorie proprie, cioè quelle che non fanno parte di nessuno dei sottoinsiemi precedenti, vi sono la maggior parte delle frasi che sentiamo dire dai politici, o leggiamo sui giornali (per non parlare dei professori...).

Nota.
A questo punto gli ennanalisti avevano inserito un altro insieme, e cioè i cosiddetti teoremi sbagliati, ovvero, dalla loro definizione, "teoremi che non sono veri praticamente mai e quella rara volta che lo sono, si applica il quarantaquattresimo principio di Kronsky anche detto principio dell'Eccezione Che Conferma La Regola e li si fa tornare zitti zitti in questo insieme"; il problema è che se un teorema non si verifica mai, allora è soggetto ad una regola certa, probabilmente dimostrabile (si può cioè dimostrare che è sbagliato) e quindi in realtà rientra in uno degli insiemi precedenti. Per arrivare a questa conclusione, agli ennanalisti sono occorsi diversi anni e qualche migliaio di casse di birra.
Il Teorema (con la T maiuscola).
Siamo finalmente giunti a parlare del Teorema, più volte accennato nei capitoli precedenti ma, data la sua importanza, abbiamo stabilito che gli fosse dedicato un Paragrafo.

(35) in caso siate interessati ad approfondire l'argomento, vi rimandiamo alla letteratura specializzata, in particolar modo le opere di Stephen King.

(36) qui si intende una percentuale del 90%, ma dato che è rinomata l'usanza di usare la scala 0,.., 1 invece che 0,.., 100 e di chiamarla ugualmente percentuale, ci siamo adattati a questa barbara abitudine. Non chiedete il perché di tutto questo (specialmente ai legumi), perché vi verrebbe comunque risposto... ERGODICO. Non cercate di capire il senso di questa nota (che vi assicuriamo ha un senso), in quanto essa scaturisce da una tristissima esperienza di uno degli autori, ed essa, vuol solo essere un suo sottile sfogo liberatorio. Ovviamente, l'altro autore si dissocia completamente da queste soggettività, poiché non lo riguardano e non vuole che lo riguardino, avendone già molte sulle quali piangere.

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