CAPITOLO SETTIMO

TEORIA DEI TEOREMI

Paragrafo 1.

INTRODUZIONE

In questo Capitolo tratteremo i teoremi come entità da studiare: invece di enunciare e dimostrare nuovi teoremi su chissà che cosa, vi parleremo dei teoremi in generale: cosa sono, come si dividono, quanti sono, ecc. e per ultimo parleremo del Teorema, l'unico che merita la lettera maiuscola.
Iniziamo con uno sguardo a cosa dice l'Enciclopedia a riguardo di teoremi, corollari, assiomi e via dicendo.

Teorema.
L'Enciclopedia dice che è un sostantivo maschile... Che notizia entusiasmante, ma procediamo. Nasce nel XV secolo e deriva dal greco theórêma (ricerca) e da theórêin (osservare, esaminare). È una proposizione di cui si dimostra la validità all'interno di una data teoria, mediante procedimenti logici basati sull'accettazione (va bene anche la motosega) degli assiomi della teoria stessa. Nell'enunciato di un teorema si distinguono:
- l'ipotesi, costituita dalle premesse che si danno per vere,
- la tesi, in cui sono enunciate le conseguenze che discendono da ciò che è indicato nell'ipotesi.
Se scambiando l'ipotesi con la tesi, si ottiene ancora un teorema dimostrabile, il teorema è detto invertibile, il teorema così ottenuto si dice inverso o reciproco di quello dato e a voi va proprio male perché dovete studiare due dimostrazioni invece di una.
È detto teorema contrario di un teorema dato quello che si ottiene dal primo sostituendo all'ipotesi la sua negazione e alla tesi la sua negazione; per il principio del terzo escluso, i due teoremi non possono essere contemporaneamente dimostrabili (ciò non vuol dire che uno dei due è per forza dimostrabile, magari sono uno peggio dell'altro).
È detto contronominale il teorema che si ottiene da uno dato sostituendo all'ipotesi la negazione della tesi e alla tesi la negazione dell'ipotesi; in teoria, se non andiamo errati, il teorema così ottenuto è abbastanza equivalente a quello precedente.
Corollario (per l'Analisi N, Coronaria).
Un altro sostantivo maschile, questa volta del XIV secolo (chi ci spiega come è possibile che siano nati prima i corollari dei teoremi?) deriva dal latino corollarîum ⁽³³⁾ che era la coroncina di fiori regalata agli attori valenti (ma cosa centrerà mai...?). È una verità che deriva da una dimostrazione precedente. In particolare in Matematica è un teorema che sia immediata conseguenza del primo. La definizione ha significato più pragmatico che logico. Forse.
Lemma (in Analisi N, Dilemma).
Sostantivo maschile, del secolo XVI, deriva dal greco lêmma (premessa, argomento). In filosofia, anche se non ci interessa, è una proposizione che si dà per dimostrata prima di procedere a dimostrazioni ulteriori. In Matematica è un teorema che ha interesse solo in quanto permette di dimostrare un altro teorema; un teorema di serie B, insomma. Ci sono altri significati, ma non ci sembra il caso. Crediamo.
Assioma.
Esseemme, secolo XVI (come diavolo facevano i teoremi del quindicesimo secolo senza gli assiomi del sedicesimo?) deriva dal greco axíõma (cosa degna, principio autorevole). Il termine designa delle proposizioni iniziali di un sistema formale che vengono asserite senza dimostrazione e dalle quali è possibile derivare tutti i teoremi del sistema con l'applicazione di regole deduttive del sistema stesso. In senso corrente, principio, affermazione di indiscutibile evidenza e quindi generalmente accettata (noi, visto anche l'assioma di Dedekind, continuiamo a preferire la motosega). Seguono (sull'Enciclopedia) altre due pagine di spiegazione che non ci sentiamo di presentarvi (non avete voglia di scriverle eh!? N.d.R.) (almeno NOI sappiamo scrivere, N.d.A.) (non ce ne eravamo accorti, N.d.R.) (certo, perché bisogna saper leggere, N.d.A.) (...) (...).

(33) in realtà la i dovrebbe avere il cappuccio al contrario, ma come già noto, gli autori hanno difficoltà con certi caratteri...

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