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Paragrafo 2.

FATTORI DI ARBITRARIETÀ

La componente introdotta nel Paragrafo precedente varia in diversi modi a seconda del tipo di simboli sui quali può operare la (x). Prima di passare in dettaglio le caratterizzazioni, vediamo alcuni preliminari.

Definizione 6.1.
Dicesi simbolo un segno grafico assunto per definizione ad esprimere particolari valori, grandezze, ecc.

La definizione parrebbe seria; ebbene lo è e diciamo pure che già da essa siamo in grado di desumere una dura constatazione: i simboli sono del tutto arbitrari! Sono arbitrari nel numero, nella forma, nella scelta, nei colori, nelle dimensioni... un groviglio di lettere greche, latine, aramaiche, indocinesi, austroungariche, numeri arabi, islamici, orientali, uruguayani... parentesi tonde, graffe, quadre, parallele, circolari, asimmetriche, oblunghe, tensostrutturate... non c'è più scampo dall'indecisione.
Oltretutto la (x) definita al Paragrafo 1 è in realtà una funzione molto simile a quelle che si studiano in Analisi (o, se preferite, in Algebra) per questo a qualcuno potrà anche non piacere troppo. Diciamo però, per buona pace dei puristi dell'Arbitrarietà, che la funzione generatrice, a voler fare i pignoli, è una cosa da far drizzare i capelli a Gauss (che, come sapete, non si spaventava per nulla, nemmeno per la sua immagine riflessa) poiché potrebbe - e dico potrebbe - avere un insieme di definizione pauroso, sulla base della Definizione 6.1 e come conseguenza portare ad un insieme immagine disperatamente grande, diciamo grande almeno come quello di partenza, anche se abbiamo il forte sospetto che sia quello di partenza; ma, chissà, qualcuno potrebbe inventare simboli nuovi ogni giorno, dopodiché qualcun altro lo tratterebbe molto male, ma, come ben capite, questo è un altro discorso.

Consideriamo, per semplicità, l'insieme X di definizione della (x), come quel particolare insieme di simboli che include i seguenti sottoinsiemi di simboli, la cui unione è detta base dei simboli:

IM insieme delle lettere dell'alfabeto inglese (A, .., Z) maiuscole;
Im insieme delle lettere dell'alfabeto inglese (a, .., z) minuscole;
U insieme delle cifre da 0 a 9;
GM insieme delle lettere dell'alfabeto greco (A, .., W) maiuscole;
Gm insieme delle lettere dell'alfabeto greco (a, .., w) minuscole;
A insieme dei caratteri grafici, come parentesi, punti, virgole, asterischi, ecc. (l'elenco può variare liberamente, purché non comprenda caratteri privi di significato o simboli appartenenti a uno degli insiemi precedenti).

Quindi X IM Im U GM Gm A.

Questi sono sufficienti nella gran parte dei casi, anche perché molti altri insiemi di simboli sono compresi in questi fondamentali o sono costruibili tramite essi, ad esempio, l'insieme dei numeri romani (I, II, III, IV, V...) è incluso in IM, e poi perchè, anche senza andare per forza a cercare gli ideogrammi cinesi, c'è già abbastanza carne al fuoco per fare un'indigestione.
Faremo inoltre, per ora, l'ipotesi restrittiva, ma non necessaria, che le parole del testo di un enunciato non vengano modificate in alcun modo dalla (x); vedremo più avanti (Paragrafo 5) come modificarle, in quali casi e per quali motivi.

Ora andiamo a considerare un testo generico, ad esempio, tanto per cambiare, l'enunciato di un teorema e, volendo (per farci del male), anche la sua dimostrazione. Esso potrà contenere simboli variabili in numero e per tipo; prendiamo in esame soprattutto formule matematiche e passaggi che interessino lo sviluppo delle stesse e consideriamo i seguenti insiemi di simboli:

N insieme dei nomi di variabili indipendenti, N Im Gm;
F insieme dei nomi di funzioni, F IM GM;
J insieme degli indici ed esponenti, J X;
W insieme dei simboli di operatori (somma, moltiplicazione, ecc.), W A.

Osservazione.
Si noti che i numeri non sono esclusi; a questo punto si potrebbe pensare di essere autorizzati a scambiare, tramite una (x), un 2 con un 3. Ciò non è esattamente quello che si vuole, anche se è possibilissimo farlo; comunque esistono sempre gli errori di stampa (che sono sempre molto probabili). Lo scopo non dovrebbe essere in effetti quello di alterare i risultati, ma di "mascherarli" in modo da renderli incomprensibili (il buon vecchio Ry direbbe: "in modo che si generi indecisione"). Il fatto è che, invece di 2, si può sempre scrivere , oppure log10100, oppure ancora

o magari sostituire un bel problema di Cauchy del quarto ordine che restituisca come risultato la funzione costante y = 2. Come si vede, le possibilità sono parecchie, non sapremmo dire se infinite o no, ma comunque sono tante, TROPPE.

Per il calcolo di si procede a partire dalla

Definizione 6.2.
Dato un insieme X di simboli, se è il numero di elementi di X, preso un simbolo x X, si dice che la componente associata al simbolo x è data da x = k, dove k è la costante di Kronsky.

Per il valore della costante di Kronsky si veda il Paragrafo successivo.

L'arbitrarietà totale associata a un testo (teorema, dilemma, ecc.), dati gli insiemi di simboli N, F, J, W precedentemente introdotti, è invece completamente descritta dalla seguente

Definizione 6.3.
Detti
n numero di simboli di variabili indipendenti contenute nel testo;
f numero di simboli di funzioni contenute nel testo;
j numero di simboli di indici e esponenti contenuti nel testo;
m numero di simboli di operatori contenuti nel testo;
l'arbitrarietà totale presente nel testo è calcolata come:

= nx + fF + ji + mv
dove
x è la componente associata ad una generica variabile indipendente;
F è la componente associata ad una generica funzione;
i è la componente associata ad un generico indice o esponente;
v è la componente associata ad un generico operatore.

Bisogna vedere ora come calcolare le singole componenti. Ci vengono in aiuto i risultati che seguono.

Teorema 6.1.
x e F aumentano esponenzialmente con il numero di variabili e funzioni.

Dimostrazione.
Date n variabili, il simbolo di ognuna di esse può variare nell'insieme N che conta elementi, quindi x = k ... n volte, quindi x = kn.
Identico discorso si può fare per F.

Teorema 6.2.
v aumenta fattorialmente con il numero di operatori.

Dimostrazione.
Prendendo (tra quelle del teorema) la formula contenente più operazioni sulle variabili e/o sulle funzioni, sia m il numero di operatori presenti; ognuno di essi può variare nell'insieme W che contiene elementi. Inoltre gli m operatori concatenano senz'altro m+1 argomenti i quali possono quindi essere permutati su (m+1) posti.
Allora si ha: v = km(m+1)!

Teorema 6.3.
i aumenta ennorialmente con il numero di indici.

La dimostrazione di quest'ultimo teorema è stata omessa per rispetto verso il lettore (a tutto c'è un limite!). In effetti, tali enunciati sono dovuti a Kronsky e McBowd e quest'ultimo si è dilettato nel ricavare una dimostrazione al teorema 6.3 che però lo stesso Kronsky ha rifiutato, poiché, a suo dire, vi intervenivano troppi passaggi analgebrici. Ciò ci induce a pensare che, in fondo, Kronsky non era del tutto pazzo, ma questo lasciamolo giudicare ai suoi amici e al suo psicanalista, dato che, stando al buon Kronsky, il teorema 6.3 si desume da "considerazioni di carattere euristico, dedotte da risultati dell'Analisi Numerica". Tutto, cioè, fa pensare che abbia tirato a indovinare. Comunque, se diamo per buoni questi enunciati (almeno quelli; le dimostrazioni sono un altro paio di maniche) dobbiamo convenire che l'arbitrarietà indotta da particolari simboli, quali gli operatori e soprattutto gli indici, può divergere molto rapidamente anche se il testo è molto breve.

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