Capitolo 4, "Gli errori incalcolabili"

Paragrafo 4.

GENERATORI DI ERRORE

Cominciamo ora la trattazione di una delle parti più importanti della teoria degli errori incalcolabili: i cosiddetti generatori di errori, ovvero quei non-algoritmi (o non-modelli-matematici) in grado di avvicinarsi ad una massimizzazione degli errori che si possono commettere durante l'utilizzo di un teorema o di una formula, siano essi puramente teorici o dotati di applicabilità pratica. Innanzitutto una importante definizione.

Definizione 4.4.
Si dice paradigma del generatore l'equazione E(f(n)) = Q che descrive la quantità di errore Q variabile con il variare della funzione f(n) a variabile n intera. Q è per definizione un numero sempre positivo.

La funzione f(n) può avere segno qualunque e risulta spesso una funzione monotona crescente. E(f(n)) a volte è una funzione empirica e sovente non è calcolabile nè approssimabile.

Dilemma 4.2.
In un generatore di errori, l'errore definitivo può solo crescere.

Dimostrazione.
Sia G un generatore di errori e E(f(n)) = Q il suo paradigma. Fissato n₀ esisterà un Q₀ > 0 tale che E(f(n₀)) = Q₀. L'errore tende ad essere massimo, per cui in base alla definizione di errore definitivo e al risultato dell'Esercizio 3.1 del Capitolo Terzo, Paragrafo 2, si ottiene la tesi.

L'errore totale, come si è già avuto modo di dire, è raggiungibile solo in teoria. Nella pratica quasi tutti i generatori di errori sono non-modelli approssimati. Esistono comunque i seguenti importanti teoremi, le cui dimostrazioni sono lasciate al lettore per esercizio.

Teorema 4.2 (Primo teorema fondamentale dei generatori di errori).
Condizione necessaria e sufficiente affinché un generatore di errori raggiunga l'errore totale è che non funzioni.

Teorema 4.3 (Secondo teorema fondamentale dei generatori di errori).
Condizione necessaria e sufficiente affinché un generatore di errori raggiunga l'errore totale è che funzioni.

Sulla base di ciò che si appreso nel Paragrafo 2, e da osservazioni di ordine pratico, diremo che i generatori di errori sono sempre sovraelongazioni delle variabili d'ingresso, ovvero se G è un generatore di errori e f(n) è la variabile d'ingresso (in questo caso una funzione; ma potrebbe essere un numero, un teorema, un uomo, una galassia, etc.), otteniamo che

f(n) [ G ] (f(n)).

Definizione 4.5.
Si definisce prevedibilità la probabilità di individuare per tempo la quantità di errore dovuta ad un generatore di errori. Essa viene anche detta prevedibilità del generatore.

Abbiamo il

Dilemma 4.3.
La prevedibilità di un generatore di errori è tanto più piccola quanto più il generatore è buono.

La dimostrazione, pressoché intuitiva, è lasciata come esercizio di linguaggio. Si noti l'attributo "buono" che è stato utilizzato per caratterizzare il generatore; tale attributo è evidentemente una soggettività, che quindi introduce un livello di indecisione da associare al generatore. Non ci si lasci trarre in inganno da facili conclusioni: un generatore di errori non è un oggetto gravato da indecisioni; esso risponde meccanicamente alle sollecitazioni che gli provengono dall'esterno e anche se lo fa in maniera spesso del tutto imprevedibile, ciò non significa che abbia al suo interno delle indecisioni. La soggettività riguarda più che altro l'operatore, che deve stabilire una scala di valori per il generatore (o i generatori). Si parla in questi casi di indecisione forzata, e i generatori non ne sono l'unico esempio. La natura dei generatori tende a portare la loro prevedibilità intrinseca a livelli minimi, prossimi allo zero, ma nella pratica tale limite non viene raggiunto mai. Come ci apprestiamo a vedere, esiste uno e un solo generatore in grado di scendere a prevedibilità zero: la macchina di Iccut.

Prossimo

Indice