Capitolo 3, "Metodi di risoluzione"

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Paragrafo 4.

METODO DELL'ABOLIZIONE COSTANTE

Teorema 3.2 (dell'abolizione costante).
Sia

A(x) = 0

(1)

un'equazione, dove A(x) è una funzione nella variabile x. È possibile esprimere A(x) come una somma di 2p funzioni (p finito > 1) A_i(x), i = 1, 2, ..., 2p tali che sia A_i(x) = - A_i+1(x) per ogni i dispari. Allora la (1) è risolubile.

Dimostrazione.
Supponiamo che sia

A(x) = A₁(x) + A₂(x) + A₃(x) + ... + A_2p-1(x) + A_2p(x)

Per ipotesi è A_j(x) = - A_j+1(x) e quindi

A₁(x) = - A₂(x), A₃(x) = - A₄(x), ..., A_2p-1(x) = - A_2p(x)

(2)

Allora posso scrivere:

A(x) = - A₂(x) + A₂(x) - A₄(x) + A₄(x) - ... - A_2p(x) + A_2p(x) = 0

poiché tutti i termini si elidono costantemente a due a due, e quindi la (1) è vera.

Il teorema appena dimostrato ci consente di dedurre un metodo di risoluzione della (1), cioè di trovare tutti gli x per cui essa è valida. Se sappiamo che valgono le (2), allora è possibile che una di esse sia sufficientemente facile da risolvere. Stiamo dicendo che, posta la soggettività {facile, difficile} da concatenare all'oggetto "risoluzione dell'equazione" esiste qualche caso (e magari anche qualcun altro) in cui ci troviamo nel valore facile. Questo è sempre vero, e si dimostra agevolmente con l'ausilio dei principi di induzione soggettiva visti nel Capitolo Secondo.
Chiamo R₁ l'equazione A₁(x) = - A₂(x), R₂ la A₃(x) = - A₄(x), ..., R_p la A_2p-1(x) = - A_2p(x).
Supponiamo che siano tutte le R_i difficili da risolvere. Allora è vero che:

R₁ è difficile;
R₂, ..., R_p-1 sono difficili;

per il principio di disinduzione R_p è facile, contro le ipotesi. Allora esiste almeno una R_i facile da risolvere.

Osservazione.
La condizione di parità del numero di addendi in cui viene suddivisa la A(x) non deve essere considerata restrittiva. Infatti, se il numero n di addendi è dispari si ha:

A(x) = A₁(x) + A₂(x) + A₃(x) + ... + A_2p-1(x) + A_2p(x) + A_2p+1(x)

e, dalle (2)

A(x) = - A₂(x) + A₂(x) - A₄(x) + A₄(x) - ... - A_2p(x) + A_2p(x) + A_2p+1(x)

e quindi A(x) = A_2p+1(x) è semplicemente una (2p+1)-esima equazione considerabile, che magari potrebbe anche essere la più facile da risolvere (ma non contateci troppo).

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