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Paragrafo 6.

I PRINCIPI DI KRONSKY

La risoluzione ad un problema P qualunque di Analisi (1, 2, ..., N) è rappresentabile tramite una funzione M (metodo) con dominio un insieme I (insieme delle istanze del problema) e a valori in un insieme A (insieme delle risposte al problema, sia quelle corrette che quelle sbagliate).
Dato un problema P, sia I l'insieme delle sue istanze e k la cardinalità dell'insieme I (eventualmente k = ).
Sia O = { i1, i2, ..., in, ... } un ordinamento qualunque delle istanze di P per M, in modo che i1 sia la prima istanza di P, i2 la seconda, eccetera. O è equivalente a I, tranne che i suoi elementi possono essere disposti in maniera diversa.
M è un'equazione, o un algoritmo, che può condurre o meno alla soluzione del problema P; in generale non condurrà a nulla: se è un'equazione sarà sbagliata e se è un algoritmo, una volta implementato bloccherà il sistema. Nel migliore dei casi, M risolverà solo alcune istanze del problema e per le altre darà risultati indecenti. Nel Capitolo Terzo sono indicati alcuni metodi di risoluzione di problemi (nella fattispecie, equazioni).
Di solito, si è in grado di conoscere fin dall'inizio alcune soluzioni "standard" del problema, in modo che se il nostro metodo M risulta corretto almeno per quelle soluzioni si è portati a pensare di essere sulla buona strada. In effetti esistono i seguenti principi (di Kronsky), detti fondamentali:

  1. Principio della prima istanza: se M funziona per la prima istanza di P allora funziona per tutte le istanze di P.
  2. Principio della seconda e ultima istanza: se M funziona per la prima e per la seconda istanza di P allora funziona per tutte le istanze di P.
  3. Principio della seconda e unica istanza: se M funziona per la seconda istanza di P allora funziona per tutte le istanze di P.
  4. Principio delle n istanze: se M funziona per le prime n istanze di P allora forse e solo forse funziona per tutte le istanze (9) di P.
  5. Principio delle istanze totali: se M funziona per tutte le k istanze di P allora funziona anche per la prima e per la seconda.

Esempio 2.1.
Supponiamo di avere il problema di dover cercare l'inversa A-1 di una matrice A. Per semplicità sia A la matrice 3x3:

La sua inversa A-1 è (dopo N calcoli):

La verifica di questo risultato consiste nel moltiplicare le due matrici tra di loro ed osservare se il totale corrisponde alla matrice identità. In questo caso particolare può essere abbastanza semplice fare tutti i conti del caso, ma se la matrice di partenza fosse stata NxN con N molto grande, diciamo dell'ordine di k, con k >> 10 ?
Avremmo potuto applicare qualcuno dei principi fondamentali di Kronsky; ad esempio, il prodotto della prima riga di A per la prima colonna di A-1 risulta pari a 1, come deve essere per aversi la matrice identità, quindi, applicando il principio della prima istanza, A-1 è proprio la matrice inversa di A.

Riguardo a questi principi fondamentali, Kronsky ha elaborato un certo numero di teoremi di una qualche importanza.

Teorema 2.5 (Primo teorema di Kronsky).
I principi fondamentali di Kronsky sono soggettivi.
Nessuno si è mai occupato di dimostrare il Primo teorema di Kronsky, forse nemmeno lui. I teoremi di Kronsky sono in tutto quattro: gli ultimi tre sono anche detti determinanti. Anche di questi nessuno ha mai dato una dimostrazione. Si vedano comunque gli Esercizi in fondo al Paragrafo.

Teorema 2.6 (Secondo teorema di Kronsky).
I principi fondamentali di Kronsky sono veri.

Teorema 2.7 (Terzo teorema di Kronsky).
I principi fondamentali di Kronsky sono belli.

Teorema 2.8 (Quarto teorema di Kronsky).
Presa una proposizione qualunque, il Quarto teorema di Kronsky la rende vera. (10)

Esistono numerosi altri principi di Kronsky, detti minori: ne elenchiamo alcuni per completezza; il numero a fianco di ciascuno è quello originale tratto dall'ordine con cui Kronsky li ha ideati.

  1. x è reale e incognito.
  2. x0 è reale, fissato, ma incognito.
  3. z è complesso, fissato con la lacca.
  4. n è intero positivo.
  5. n è intero, positivo o nullo.
  6. k è costante.
  7. n è uguale a zero.

E, a proposito di completezza, i principi dal trentesimo al quarantatreesimo sono detti leggi delle completezze e riguardano l'angoscioso problema dei problemi (il gioco di parole è inevitabile, come vedrete):

  1. I principi dal (21) al (29) sono un problema.
  2. Il principio (30) è un grosso problema.
  3. Il principio (31) contiene almeno una soggettività.
  4. Potrei avere qualche problema nel considerare veri i principi fondamentali.
  5. Esiste sempre almeno un problema e ciò è un problema.
  6. Temo che esistano infiniti problemi.
  7. Il principio (34) si autodimostra.
  8. Non avrei mai pensato di poter dimostrare un principio.
  9. Un problema come quello del principio (34) è detto completo.
  10. Esiste sempre almeno un problema completo, purtroppo.
  11. Il principio (39) è un altro un problema ancora.
  12. Un problema come quello del principio (39) si dice determinato.
  13. Il problema esposto al principio (42) è completamente determinato (determinante kronskiano).

 

ESERCIZI.
2.1. Dimostrare i primi tre teoremi determinanti di Kronsky.
2.2. Dimostrare i primi tre teoremi determinanti di Kronsky senza usare il quarto teorema determinante di Kronsky.

 

(9) Infatti, per il Teorema, potrebbe non funzionare proprio per la n+1-esima.
(10) Il Quarto teorema di Kronsky non riguarda da vicino i principi, ma appare comunque molto utile...

 

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